お知らせ5

主イデアル上の座と、無限での座を含む全ての例外有限集合の上で1である単円の上への写像を取ることで、イデール類群の指標ψを考える。すると、ψはイデアル群ISの指標χを生成し、イデアル群はS上に入らない素イデアル上の自由アーベル群となる。Sに入らない各々の素イデアルpの統一された元πを取り、各々のpを、pの中ではπであり、そうでない場合は1であるようなイデールのクラスへ写すことにより、ISからイデアル類への写像Πを定義することができる。χをΠとψの合成とすると、χはイデアル群上の指標としてうまく定義できる。

逆の方向では、ISの許容(admissible)指標χが与えられると、一意にイデール類群ψが対応する。ここの許容とは、集合Sを基礎とするmodulus mが存在し、指標χが1mod mであるイデアル上で1となることを言う。

指標が大きいということは、指標が有限オーダーのタイプではないことを意味する無限タイプであるということである。有限オーダーのヘッケ指標は、ある意味で、すべて類体論により考慮されていて、それらのL-函数はアルティンのL-函数によりアルティン相互法則として示されている。しかし、ガウス体(Gaussian field)と同じくらい単純な体でさえ、重要な方法で有限のオーダーを超えたヘッケ指標を持っている（以下の例を参照）。後日の虚数乗法論の発達では、大きな指標の固有な座の存在が、代数多様体の、（ひいては、モチーフの）重要なクラスのハッセ・ヴェイユのL-函数を提供することになることを示していた。