イベント3

モーデル・ヴェイユの定理（Mordell–Weil theorem）は、数体Kの上のアーベル多様体Aに対し、AのK-有理点の群A(K)が、モーデル・ヴェイユ群（Mordell-Weil group）と呼ばれる有限生成アーベル群であるという定理である。
Aが楕円曲線でKが有理数体Qの場合をモーデルの定理と言い、1908年頃にアンリ・ポアンカレ（Henri Poincaré）により提示された疑問に答えたもので、1922年にルイス・モーデル（Louis Mordell）により証明された。

接する弦のプロセス（tangent-chord process）（三次曲線（cubic cuve）における加法定理の一種）は、17世紀より知られている。
フェルマー（Fermat）のは無限降下法は良く知られていたが、モーデルは（無限降下法の）証明の重要な段階である商群E(Q)/2E(Q)を証明することに成功した。
確かにこの群の有限性は、E(Q)が有限生成であることの必要条件であり、このことはアーベル群のランクが有限であることを意味していて、本質的に難しいことであることが判明している。
このことの証明は、Eの点の二重性の直接の解析により初めて可能となる。

数年後、アンドレ・ヴェイユ（André Weil）はこの問題を取り上げ、数体上の高い種数を持つ曲線のヤコビ多様体へ一般化し、1928年に彼の博士論文として出版した。
一層抽象的な方法が要求され、同一の構造を持つ証明が遂行された。証明の後半は、A(K)の点の「サイズ」の限界を意味するある種類の高さ函数を必要とした。
座標の測り方として、高さは対数的であり、従って大まかに言うと、同次座標（homogeneous coordinates）の集合を書き下すことに何デジット必要かという疑問であった。
アーベル多様体では、射影多様体として表現されていることから、何の前提も必要ない。

証明の前半も後半も、その後のテクニックの前進により大きく改善され、ガロアコホモロジーでは降下法が適用され、最良の高さ函数は、二次形式であることが研究により示されている。