お知らせ2

ヘッケに遡ると、ヘッケ指標の元来の定義は、分数イデアル上の指標を使っていた。数体Kに対し、m=mfm∞を、有限部分としてはKのイデアルmfを持ち、無限部分としてはKの実数の座(place)の「形式的な」積として持つK-モジュラス(modulus)とする。ImでKの分数イデアルの群を素イデアルmfを表し、Pmで主分数イデアル(a)の部分群を表す。ここにaは、その因子の多重度に応じて、各々のmの座で1に近く。mfの中の各々の有限の座vに対し、ordv(a-1)は、少なくともmfの中のvの成分と同じ大きさであり、aはm∞への各々の実埋め込みの下では正である。modulus m持つヘッケ指標は、Imから0でない複素数への群準同型であり、Pmの中のイデアル(a)に対し、その値は、Kのすべてのアルキメデス的完備化の乗法群の積から0でない複素数への連続写像のaでの値に等しい。アルキメデス的完備化の乗法群上では、この準同型の各々の局所成分は、同じ実数成分を持っている。（ここに、K上の様々なアルキメデス的な座に対応する埋め込みを使い、Kのアルキメデス的完備化の積の中へaを埋め込む。）このようにして、ヘッケ指標はmodulo mとする射類体(ray class group)上で定義される。ここの射類体とは商Im/Pmである。

厳密に言うと、ヘッケは、総実な生成子を持つような場合の主イデアルの振る舞いについての基本的な事項を作った。従って、上の定義について、彼は全ての実数の座が現れるモジュラスを持つ仕事をしたのみであった。無限部分m∞は、現在では無限タイプの考え方に含まれている。